【初学者向け】グリーンのひずみテンソルと微小ひずみテンソル

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本記事ではベクトルと行列のそれぞれを明示するために行列Aの場合は$\left[A\right]$、ベクトルAの場合は$\{A\}$のように[]{}を使い分けています。

この記事を書いた動機

昨年・一昨年と連続体力学(特に固体力学分野)の勉強(概ね独学)をする機会があったのですが、テンソルの総和規約表現がとても難解だと感じました。

確かにある概念を数学的に無駄のない形で定義通り伝える重要性は理解できますが、あまりにも厳密な定義や抽象的な説明が初学者の理解度を深めるのに有効であるとは思いません。

これを解決する方法として、少々時間のかかる方法ですがひとまず初学者が従来学習してきた(はずの)応力・ひずみの概念、および行列・ベクトルの様々な計算とテンソルの演算方法を具体的に紐づける必要があると感じました(というよりも私はこれでようやく様々なテンソルの話を理解できるようになりました)。

そこで本記事では一例としてグリーンのひずみテンソルの定義式に着目し、その定義式に則りつつも、より具体的な行列・ベクトルの計算を介することでこれらの概念を理解しやすい形に落とし込みたいと思います※0

※0 数学的にマズい表現を用いている部分があるかもしれません。「ひずみテンソルの概念をまず理解すること」を目的としているため生暖かい目で見て頂けると喜びます。間違いや指摘については常時welcomeなので、もしあれば本ページ最下部に記載したコンタクトフォーム・TwitterのDMなどでお願いいたします。

グリーンのひずみテンソルとは

大変形を意味する有限変形の概念を考える上でも重要なグリーンのひずみテンソルについて、日本機械学会の公式サイトが説明してくれています。

なお、参考文献[1]においてグリーンのひずみテンソルは移動前の位置ベクトル$\boldsymbol{\it{A}}, \boldsymbol{\it{B}}$と移動後の位置ベクトル$\boldsymbol{\it{A’}}, \boldsymbol{\it{B’}}$を用いて次の通り定義されています※1 \begin{equation} \boldsymbol{A’}\cdot\boldsymbol{B’}-\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}=\rm{2\it{E_{ij}}\it{A_{i}}\it{B_{j}}}\\\ \end{equation} 定義通り説明するとこうした表現が一番数学的に奇麗な表現になります。ただ、初学者がこの式をただ眺めても 「良く分からない行列計算を良く分からない下付き文字(総和規約)を使って表現しているんだなぁ」くらいにしか分からないと思います。

※1 参考文献からの引用なので、ベクトルと行列の表現もテキストのものに従っています。

グリーンのひずみテンソルの導出のような何か

まず、下図の様に位置ベクトル$\{A\}$が変位$u, v, w$によってベクトル$\{A’\}$となる場合を考えます※2。なお、ベクトル$\{A\}$は式(2)で表されるものとしています。 \begin{equation} \{A\}= \begin{Bmatrix}\rm{d}x\\ \rm{d}y\\ \rm{d}z\end{Bmatrix} \end{equation} deformation 続いて次式を計算します※3

\begin{equation} \{A’\}\cdot\{A’\}-\{A\}\cdot\{A\} \end{equation}

なお、計算の際にはベクトル$\{A’\}$が変位勾配テンソル$\left[ \it{F}\rm~\right]$と$\{A\}$を用いて次式で表せることを用います。 \begin{equation} \{A’\}=\{A\}+\left[ \it{F}\rm~\right]\{A\}=\begin{Bmatrix}\rm{d}x\\ \rm{d}y\\ \rm{d}z\end{Bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\rm{d}x\\ \rm{d}y\\ \rm{d}z\end{Bmatrix} \end{equation}

式(3)の第一項を抜き出して計算します。 \begin{eqnarray} \{A’\}\cdot\{A’\} &=& \{A’\}^{\mathrm{ T }}\{A’\}\nonumber\\[ 5pt ] &=& \left(\{A\}^{\mathrm{ T }}+\{A\}^{\mathrm{ T }}\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}\right)\left(\{A\}+\left[ \it{F}\rm~\right]\{A\}\right)\nonumber\\[ 5pt ] &=& \{A\}\cdot\{A\}+\{A\}^{\mathrm{ T }}\left(\left[ \it{F}\rm~\right]+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}\left[ \it{F}\rm~\right]\right)\{A\} \end{eqnarray} 式(5)を用いることで式(3)は次の通り変形できます。 \begin{equation} \{A’\}\cdot\{A’\}-\{A\}\cdot\{A\} = \{A\}^{\mathrm{ T }}\left(\left[ \it{F}\rm~\right]+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}\left[ \it{F}\rm~\right]\right)\{A\} \end{equation} ここで、式(1)において$\{A\}=\{B\}$とすれば式(6)と同様の式となり、$\{A\}^{\mathrm{ T }}$と$\{A\}$に挟まれた項がグリーンのひずみテンソルを2倍したもの($2\left[E\right]$)であることが分かります。従って、 \begin{eqnarray} 2\left[E\right]&=&\left[ \it{F}\rm~\right]+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}+\left[ \it{F}\rm~\right]^{\mathrm{ T }}\left[ \it{F}\rm~\right]\nonumber\\[ 5pt ] &=& \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x}\\\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\\ \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x}\\\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\\ \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}\nonumber\\[ 5pt ] &=& \begin{bmatrix} 2\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \\\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} & 2\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \\\ \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} & 2\frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 & \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial z} \\\ \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial x} &\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 & \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial w}{\partial z} \\\ \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial y} & \left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}

そして式(7)の両辺に1/2を掛けて、総和規約を用いてを表すとよく教科書などで見かけるグリーンのひずみテンソルが出てきます※4$(i, j, p = 1, 2, 3)$。 \begin{equation} E_{ij}=\frac{1}{2}\left(\nabla_{i}u_{j}+\nabla_{j}u_{i}+\nabla_{i}u_{p}\nabla_{j}u_{p}\right) \end{equation}

※2 ある物体内の座標が変位によって移動した場合であると考えても良いかもしれません。
※3 急に出てきたこの式の説明は省略しますが、もし分からなければ参考文献pp.121~pp. 122 などを参照するか「ベクトルの内積 垂直ひずみ 関係」をキーワードに検索するなどしてください。
※4 一応の説明ですが、$\nabla_{1}=\frac{\partial}{\partial x}, u_{2}=v$といった対応になっています。詳しくは参考文献pp. 120を参照してください。

微小ひずみテンソルの導出

グリーンのひずみテンソルの二次以降の項を無視することで微小ひずみテンソル$[\varepsilon], \varepsilon_{ij}$が得られます(逆にグリーンのひずみテンソルは微小項を考慮しているとも言えます)。これらをまとめると式(9)と式(10)の通りとなります。 \begin{eqnarray} [\varepsilon]&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \\\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} & 2\frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \\\ \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} & 2\frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix}\\[ 5pt ] \varepsilon_{ij}&=&\frac{1}{2}\left(\nabla_{i}u_{j}+\nabla_{j}u_{i}\right) \end{eqnarray}

したがって、微小ひずみテンソルの各成分は工学ひずみの垂直ひずみと1/2倍されたせん断ひずみから構成されていることが分かります。

まとめ

私の場合、今回説明してきたような具体的な行列計算を通してようやくひずみテンソルの概念を理解できました。それと同時に、総和規約用いた計算の便利さ・計算量の少なさも理解することが出来ました。

もし仮に教える側に回ることがあったら、(どうしても時間は掛かりますが)一度は今回のような行列計算を行うことをおすゝめしつつ、ある程度練度が上がれば総和規約の利便性と使い方を説くような方法をとると思います。

ちなみにですが、今回紹介したのはあくまでも各テンソルの概念を理解するために必要最低限の説明しかしていません。これらのテンソルには他にも様々な幾つかの面白い性質があるので、気になったらぜひ色々な文献をあさってみてください。

One comment ... ポジティブな反響があれば連続体力学分野でシリーズ化するかも。

参考文献

[1] 石原繁著,テンソル -科学技術のために-,裳華房(2011),pp. 117 - pp. 122.

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